선형대수학 시리즈 19편(차원정리)

 

 

 

 

이번 편은 차원정리를 알아볼 겁니다.

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

차원정리는 다음과 같다.

 

이제 증명해 보자.

N(T) 이(가) V의 부분공간 이라는 증명은

선형대수학 시리즈 16편(영공간과 상공간은 부분공간)

여기를 참고해 주세요.

 

그리고 모든 벡터공간은 기저가 존재한다.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 13편(모든 벡터공간에 기저 존재)

여기를 참고해 주세요.

선형대수학 시리즈 11.21편은

선형대수학 시리즈 11.21편(11.2편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.

그러면

 

그리고

이 사실들을 이용하여

그러기 위해 먼저

위에서 알아본 개념들로 다음과 같은 계산을 할 수 있다.

이다.

양변에 span을 취하면

이렇게 된다.

이 식의 좌변은

선형대수학 시리즈 17편(상공간과 기저의 관계)에서 소개한 정리에 의해

이다.

 

선형대수학 시리즈 17편(상공간과 기저의 관계)은(는)

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-17%ED%8E%B8%EC%83%81%EA%B3%B5%EA%B0%84%EA%B3%BC-%EA%B8%B0%EC%A0%80%EC%9D%98-%EA%B4%80%EA%B3%84

선형대수학 시리즈 17편(상공간과 기저의 관계)

여기를 참고해 주세요.

그리고 우변은

이다.

따라서

이다.

다시말해

 

이제

선형독립을 판별하기 위해 먼저 다음과 같이 식을 세우자.

여기에 있는 모든 C들은 스칼라 이다. 

이 식의 모든 스칼라들이 자명해만을 가진다면(모두 0인 유일해를 가진다면) 선형독립임이 증명된다.

위 식에서 선형변환 정의에 의해

이다.

양 변에 마이너스를 붙여서 다음과 같이 계산할 수 있다.

이다.

이는 영공간의 정의에 의해

이다.

생성(span)의 정의에 의해

임을 알 수 있다. (우변의 모든 C들도 스칼라 이다.)

좌변의 항들을 모두 이항하여

임을 알 수 있다.

따라서

 

최종적으로 정리하여

그러므로