선형대수학 시리즈 16.2편(선형변환 두 번째 성질)

 

 

 

이번 편은 선형변환의 두 번째 성질을 증명해 볼 겁니다.

 

선형변환의 첫 번째 성질은 

선형대수학 시리즈 15.1편(선형변환 첫 번째 성질)

여기를 참고해 주세요.

선형변환 세 번째 성질은 

선형대수학 시리즈 15.3편(선형변환 세 번째 성질)

여기를 참고해 주세요.

선형변환 네 번째 성질은

선형대수학 시리즈 15.4편(선형변환 네 번째 성질)

여기를 참고해 주세요.

그럼 시작하겠습니다.

 

 

선형변환의 두 번째 성질은 다음과 같다.

 

이제 증명해 보자.

 

필요충분조건을 증명하기 위해 다음 두 가지 명제를 증명해야한다.

첫 번째 명제는 다음과 같다.

두 번째 명제는 다음과 같다.

 

 

첫 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

이 로써 첫 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

두 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

 

그리고

이러한 두 영벡터에 대하여 선형변환 첫 번째 성질인

라는 공식을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

고로

 

따라서

이는 선형변환의 정의에 만족하므로

이로써 두 번째 명제의 증명도 끝났다.

 

첫 번째 명제도 참이고

두 번째 명제도 참 이므로

따라서 필요충분조건이 될 수 있다.