선형대수학 시리즈 57편(고유공간들의 기저들 합집합은 전체 벡터공간의 기저)

이번 편은 벡터공간에 대한모든 고윳값들에 대응하는모든 고유공간들의 기저들을모두 합집합 한 것이 전체 벡터공간의 기저가 됨을 증명할 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.  이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 47편(대각화가 가능한 필요충분조건)이번 편은 대각화가 가능한 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   고윳값과 고유벡터의 정의는 다음과 같다.  '대각화가 가능하다' 라는 것에 대한 정의는 다음과pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요.  그러므로 자명하게이다.여기서이다.그리고 자명하게이다.여기서이므로이다.여기서이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 48편(고유공간 부분집합과 선형독립 관계)이번 편은 고유공간의..

이번 편은 고유공간의 차원이 중복도 이하임을 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   중복도의 정의를 알아보자.그러면이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 55편(선형연산자의 고윳값이 될 조건과 행렬의 고윳값이 될 조건의 관계)이번 편은 선형연산자의 고윳값이 될 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 필요충분조건을 증명하는 것pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요.그리고 그러므로 여기서  참고로 '체'  F 위에서 완전히 인수분해 된다는 말의 정의는 다음과 같다.  대수적 중복도 라는 개념을 조금 더 쉽게 말하자면(단, T 은(는) 벡터공간 V 의 선형연산자이다.)  그리고 고유공간이라는 개념의 정의는 다음..

이번 편은 고유공간과 영공간의 관계에 대해 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   고유공간의 정의는 다음과 같다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 고유공간과 영공간의 정의에 의해 다음과 같이 증명된다.

이번 편은 고유공간의 선형독립인 부분집합들을 합집합 한것이 선형독립인가를 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   고유공간의 정의는 다음과 같다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다.이제 증명해 보자. 수학적 귀납법으로 증명하기 위해라는 명제를 증명해 보자.우선그리고 자명하게 여기서 양변에 선형변환 T 을(를) 취하면 다음과 같이 계산할 수 있다.  그리고 여기서 이렇게 구한 식을 방금전 구한 (선형변환 T 을(를) 취해서 구했던) 식에서 빼면 다음과 같이 계산할 수 있다.이다.여기서이다.이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 16.1편(선형변환 첫 번째 성질)이번 편은 선형변환의 첫 번째 성질을 증명해 볼 겁니다.  그럼 시작하겠습니다.  선형변환의 첫 번째 성질은 다음과 같다. 이제 증명해 보자.그리..