대수구조 체 시리즈 1편

 

 

 

 

이번 편은 대수구조들 중 한 종류인 '체'에 대해 알아보겠습니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

'체'란, 다음 공리들을 만족하는 대수구조이자 두 연산 (덧셈과 곱셈)이 주어진 집합이다.

'체'의 정의를 소개하면서 등장한 덧셈과 곱셈은, 우리가 일반적으로 알고 있던 덧셈과 곱셈이라는 보장이 없다.

덧셈과 곱셈을 마음대로 정의하더라도, 위 공리만 잘 만족하면 '체'가 될 수 있다.

즉, 편이를 위해 덧셈과 곱셈 기호를 사용하여 표기하였을 뿐이다.

물론, 우리가 알고 있던 일반적인 덧셈과 곱셈을 사용하여도 '체' 될 수 있다. (F을(를) 실수집합이라 가정한다면)

이는 '체'의 극히 일부이자 한 종류일 뿐이다.

다양한 집합과 다양한 연산을 사용하여도 위 공리만 만족하면 '체'이다.

그러므로 '체'는 무궁무진하게 만들 수 있다.

 

이제부터 체 시리즈에 나오는 항등원, 역원, 연산기호들의 표기들을 다음과 같이 취급하겠다.

'0'와(과) '1'이라고 표기하는 것은, 그저 각 연산(덧셈과 곱셈)의 항등원일 뿐이고 실수라고 단정 짓지 않겠다.

덧셈기호와 곱셈기호를 표기하는 것 또한, 우리가 알고 있던 일반적인 덧셈과 곱셈이라고 단정짓지 않겠다.

'-a'라고 표기하는 것 또한 'a에 덧셈 역원' 일뿐, a에다  '-1'이라는 실수를 곱하였다고 단정짓지 않겠다.

이러한 기호들은, 그저 표기할 때 편의를 위한 목적으로 사용할 뿐임을 명심하자.

 

 

 

 

 

 

 

'체' 라는 대수구조에 관한 기본적인 정리가 있습니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

첫 번째로 소개할 정리는 다음과 같다.

 

소거법칙.

증명은 체 시리즈 2편을 참고해 주세요. 

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EB%8C%80%EC%88%98%EA%B5%AC%EC%A1%B0-%EC%B2%B4-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-2%ED%8E%B8%EC%86%8C%EA%B1%B0%EB%B2%95%EC%B9%99

대수구조 체 시리즈 2편(소거법칙)

 

 

두 번째로 소개할 정리는 다음과 같다.

증명은 체 시리즈 3편을 참고해 주세요. 

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EB%8C%80%EC%88%98%EA%B5%AC%EC%A1%B0-%EC%B2%B4-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-3%ED%8E%B8%ED%95%AD%EB%93%B1%EC%9B%90%EA%B3%BC-%EC%97%AD%EC%9B%90

대수구조 체 시리즈 3편(항등원과 역원)