선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저존재)

 

 

 

이번 편은 벡터공간을 생성하는 집합속에 기저를 포함함을 증명해 보겠습니다.

 

선형대수학 시리즈 8편은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-8%ED%8E%B8-%EA%B8%B0%EC%A0%80

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번 편에 소개할 첫 번째 정리는 다음과 같다.

(단, G는 유한집합이다.)

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

 

집합S은(는) 선형독립인가 선형종속인가에 대한 정보가 주어지지 않았다.

고로 두 가지 경우로 갈린다.

S이(가) 선형종속인 경우에서 이러한 벡터가 존재하는 이유는 선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)에서 두 번째로 소개한 따름정리를 참고해 주세요.

선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)

그리고

이에 대한 증명은 다음과 같다.

이 유도 과정에서 다음과 같은 두 공식을 사용하였습니다.

이 두 공식에 대한 증명은

(곧 출시 예정)

여기를 참고해 주세요.

 

여기서 다음과 같은 두 가지 경우를 볼 수 있다.

이유는 위에서 설명한 방식과 같다. 

이에 대한 증명도 위에서 증명한 방식과 같다. 

 

여기서 다음과 같은 두 가지 경우를 볼 수 있다.

 

 

여기서 다음과 같은 두 가지 경우를 볼 수 있다.

 

이러한 패턴을 계속 반복하다 보면 반드시 선형독립인 경우가 나온다.

 

 

만약 계속 선형종속이 되더라도

유한집합S에서 원소를 하나씩 빼면 언젠가는 원소가 1개 남는 시점이 온다.

원소 개수가 1개인 집합은 선형독립이다.

즉, 다음과 같은 두 가지 경우로 결론이 난다.

결국에는 선형독립이다.

 

S에서 원소를 하나씩 뺄 때 마다

V을(를) 생성한다는 성질을 유지할 수 있고, 언젠가는 선형독립이 된다.

즉, 기저가 된다.

따라서 생성집합속에는 기저를 포함한다.

 

 

 

 

그리고 두 번째로 소개할 정리는 다음과 같다.

 

이제 증명해 보자.

증명 끝.

선형대수학 시리즈 10편은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-10%ED%8E%B8

선형대수학 시리즈 10편 (기저의 원소의 개수 같음)

여기를 참고해 주세요.