대수구조 체 시리즈 4편(체로 만든 벡터공간)

 

 

 

 

이번 편은 대수구조가 체 인 집합이 벡터공간 인가 와 벡터공간 이라면 차원도 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

첫 번째 명제부터 증명해 보자.

 

 

그러므로

그러면

 

다시말해

이다.

 

이제 두 번째 명제를 증명해 보자.

 

벡터공간임을 증명하게 위해서는 벡터합에 대하여 아벨군을 만족함을 증명하고

스칼라곱에 대하여 항등원 존재와 결합법칙과 분배법칙을 증명하면 된다.

 

먼저 벡터합이 아벨군인가를 알아보자.

 

 

이제 스칼라곱이 항등원 존재와 결합법칙과 분배법칙을 만족하는지를 알아보자.

 

 

 

 

스칼라곱 항등원 존재를 설명하기 앞서 다음 사실을 살펴보자.

 

 

 

 

스칼라곱 항등원 존재는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

 

즉, 스칼라곱에는 항등원 1이(가) 존재한다.

 

 

 

그리고

 

 

 

스칼라곱의 결합법칙을 설명하기 앞서 다음 사실을 살펴보자.

 

 

 

 

스칼라곱 결합법칙은 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

(체의 정의에 의해 결합법칙이 성립하는 것이다.)

즉, 스칼라곱에는 결합법칙이 성립한다.

 

 

 

그리고

 

 

 

스칼라곱의 분배법칙을 설명하기 앞서 다음 사실을 살펴보자.

 

 

 

스칼라곱 분배법칙은 다음과 같이 증명 할 수 있다.

(체의 정의에 의해 분배법칙이 성립하는 것이다.)

즉, 스칼라곱에는 분배법칙이 성립한다.

 

 

 

 

이로써 벡터공간의 모든 공리들을 만족하므로 벡터공간이라 할 수 있다.