동차선형미분방정식 시리즈 2편(무한히 미분가능한 실변수 복소함수는 부분공간)

 

 

 

 

이번 편은 무한히 미분가능한 실변수 복소함수들의 집합은

실변수 복소함수들의 집합에 대한 부분공간임을 증명해 볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

벡터공간 F(R,C) 의 정의는

동차선형미분방정식 시리즈 1편(실변수 복소함수들의 집합은 복소 벡터공간)

여기를 참고해 주세요.

참고로 벡터공간 F(R,C) 은(는) 복소수를 스칼라로 하는 벡터공간이다.

 

부분공간 필요충분조건에 의해 영벡터의 존재와 벡터합과 스칼라곱에 대하여 닫혀있음을 증명하기만 하면 된다.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 3편 (부분공간)

여기를 참고해 주세요.

 

이제 증명해 보자.

 

즉, 영벡터가 존재한다.

 

그리고

 

고로

즉, 벡터합에 대하여 닫혀있다.

 

그리고

 

고로

즉, 스칼라곱에 대하여 닫혀있다.

 

영벡터가 존재하고 벡터합과 스칼라곱에 대하여 닫혀있으므로

부분공간 필요충분조건을 만족한다. 고로 부분공간이다.