2024. 12. 27. 11:37ㆍ수학
이번 편은 모든 실변수 복소함수들의 집합은 벡터공간임을 증명해 볼 겁니다.
그럼 시작하겠습니다.
이번에 소개할 정리는 다음과 같다.
벡터공간에 대한 정의는
선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)
이번 편은 벡터공간을 정의해 보겠습니다. 그럼 시작하겠습니다. 벡터공간은 합에 대하여 아벨군을 이루고 체 에서 원소를 가져와 스칼라 곱을 정의한 대수구조이다. 8가지 공리는 다음
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벡터공간의 정의상 스칼라의 대수구조는 '체' 이다.
복소수집합은 일반적인 덧셈과 곱셈에 대하여 '체' 를 만족한다. (이에 대한 증명은 여러분들께 맡기겠습니다.)
대수구조 '체' 의 정의는
대수구조 체 시리즈 1편
이번 편은 대수구조들 중 한 종류인 '체'에 대해 알아보겠습니다. 그럼 시작하겠습니다. '체'란, 다음 공리들을 만족하는 대수구조이자 두 연산 (덧셈과 곱셈)이 주어진 집합이다.'체'의 정의를
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이제 증명해 보자.
함수의 합과 스칼라곱을 정의해 보자.
함수의 합과 스칼라곱의 정의는
선형대수학 시리즈 23편(선형변환의 합과 스칼라곱)
이번 편은 함수의 합과 스칼라곱을 정의하고선형변환의 합과 스칼라곱 또한 선형변환인가를 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 이렇게 정의한 개념으로 선형변환의 합과 스칼라곱 정
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이러한 정의대로 벡터합과 스칼라곱을 정의하면 다음과 같다.
이러한 정의대로
이렇게 정의한 벡터합과 스칼라곱은 자명하게
이에 대한 증명은 여러분들께 맡기겠습니다.
즉, 벡터합과 스칼라곱에 닫혀 있으므로 대수구조가 될 수 있다.
이제 이 대수구조가 벡터합에 대하여 아벨군임을 증명해 보자.
고로 교환법칙을 만족한다.
그리고
고로 결합법칙을 만족한다.
그리고
그리고
따라서 역원이 존재한다.
벡터 합에 대하여 결합법칙 교환법칙 항등원 존재 역원 존재가 성립하므로 아벨군을 만족한다.
이제 스칼라곱에 대한 성질들을 알아보자.
그리고
그리고
따라서 벡터공간임을 알 수 있다.
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