선형대수학 시리즈 48편(고유공간 부분집합과 선형독립 관계)
2025. 2. 7. 20:52ㆍ수학
이번 편은 고유공간의 선형독립인 부분집합들을 합집합 한것이 선형독립인가를 알아볼 겁니다.
그럼 시작하겠습니다.
고유공간의 정의는 다음과 같다.
이번에 소개할 정리는 다음과 같다.
이제 증명해 보자.
수학적 귀납법으로 증명하기 위해
라는 명제를 증명해 보자.
우선
그리고 자명하게
여기서 양변에 선형변환 T 을(를) 취하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
그리고
여기서
이렇게 구한 식을 방금전 구한 (선형변환 T 을(를) 취해서 구했던) 식에서 빼면 다음과 같이 계산할 수 있다.
이다.
여기서
이다.
이에 대한 증명은
선형대수학 시리즈 16.1편(선형변환 첫 번째 성질)
이번 편은 선형변환의 첫 번째 성질을 증명해 볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 선형변환의 첫 번째 성질은 다음과 같다. 이제 증명해 보자.그리고따라서이다.선형변환 두 번째 성질은 선
pilgigo.tistory.com
여기를 참고해 주세요.
그리고 우변까지 계산하면
이다.
여기서
이므로
여기서
그러므로
그러므로
임을 알 수 있다.
여기서
따라서
이는 선형독립 정의에 의해
따라서
그리고
고로 수학적 귀납법에 의해
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