선형대수학 시리즈 47편(대각화가 가능한 필요충분조건)

 

 

 

 

 

이번 편은 대각화가 가능한 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

고윳값과 고유벡터의 정의는 다음과 같다.

 

 

'대각화가 가능하다' 라는 것에 대한 정의는 다음과 같다.

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

첫 번째 명제는 나중에 증명하고 두 번째 명제부터 증명해 보자.

 

 

이를 행렬로 표현하면

이다.

 

이는 선형변환 행렬표현 정의에 의해

이다.

 

두 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

 

 

 

이제 첫 번째 명제를 증명해 보자.

 

 

 

필요충분 조건을 증명하기 위해

라는 명제와

라는 명제를 증명해야 한다.

 

 

먼저

라는 명제를 증명해 보자.

 

우리가 방금전 앞에서 증명한 두 번째 명제에 의해

라는 사실을 알 수 있다.

고로 '대각화 가능함'의 정의에 의해

 

 

이제

 

라는 명제를 증명해 보자.

그러면

이는 고유벡터 정의에 의해

 

즉,

 

따라서

고로 필요충분조건이 될 수 있다.