선형대수학 시리즈 8편 (기저)

 

 

 

이번 편은 기저에 대한 필요충분조건 정리를 알아보겠습니다.

 

선형대수학 시리즈 7편은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-7%ED%8E%B8-%EC%84%A0%ED%98%95%EC%A2%85%EC%86%8D

선형대수학 시리즈 7편(선형종속)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 알아볼 정리는 다음과 같다.

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

필요충분조건을 증명하는 것이므로 '필요한 조건' 임을 증명해야 하고 '충분한 조건' 임을 증명해야 한다.

그러므로

다음 두 가지 명제를 증명해 보자.

첫 번째 명제는 다음과 같다.

 

두 번째 명제는 다음과 같다.

 

먼저

첫 번째 명제 부터 증명해 보자.

고로 귀류법에 의해

그리고

여러해라는 조건에서 G이(가) 선형종속 이라는 증명은 다음과 같다.

그러면 다음과 같이 계산할 수 있다.

이 식에 대하여

이다.

다시말해

참고로 자명해란 모든 스칼라가 0인 해를 말하고

비자명해란 자명해가 아닌 해를 말한다.

 

따라서

정리하여

고로 귀류법에 의해

우리는 조금 전에

고로

첫 번째 명제 증명이 끝났다.

 

이제 두 번째 명제를 증명해 보자.

두 번째 명제를 다시 한번 보자.

 

이를 증명해 보자.

다시말해

즉, G은(는) V을(를) 생성한다.

 

그리고

다시말해

즉, G은(는) 선형독립이다.

 

정리하여

생성과 선형독립을 동시에 만족하는 것은 기저를 의미한다.

두 번째 명제도 증명 되었다.

 

 

첫 번째 명제도 참 이고 두 번째 명제도 참 이므로

 그러므로 기저의 필요충분조건이 될 수 있다.

선형대수학 시리즈 9편은

선형대수학 시리즈 9편 (생성집합속 기저존재)

여기를 참고해 주세요.