선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)

 

 

이번 편은 선형종속이 되는 필요충분조건에 관한 정리를 소개하겠습니다.

 

선형대수학 시리즈 6편은 

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-6%ED%8E%B8

선형대수학 시리즈 6편

여기를 참고해 주세요.

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

이라 하고 다음 두 명제를 증명해 보자.

첫 번째로 증명할 명제는 다음과 같다.

두 번째로 증명할 명제는 다음과 같다.

 

 

첫 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

이는 선형독립 정의에 해당하지 않으므로 

 

 

 

두 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

두 번째 명제를 다시 한번 보자.

이를 증명해 보자.

참고로

자명해란 모든 스칼라가 0인 해를 말하고

비자명해란 자명해가 아닌 해를 말한다.

 

따라서 

 

 

조금전에 우리는

 

라는 사실을 알았다.

이 말은 즉, 다음과 같은 결론을 낼 수 있다.

다시말해

0이 아닌 스칼라는 체의 성질에 의해 나눌 수 있다.

따라서

이러한 꼴로 표현 가능하다.

고로 span의 정의에 의해

이다.

 

이 로써 두 번째 명제까지 증명하였다.

첫 번째 명제도 참 이고 두 번째 명제도 참 이므로

고로  소개한 정리에서 필요충분조건이 될 수 있다.

 

 

 

 

그리고 두 번째로 소개할 정리는 위 정리에 대한 따름정리 이다.

위 정리의 따름정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

기본적으로

그러므로

위에서 증명한 정리에 의해

증명 끝.

 

선형대수학 시리즈 8편은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-8%ED%8E%B8-%EA%B8%B0%EC%A0%80

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

여기를 참고해 주세요.