선형대수학 시리즈 58편(고유공간의 교집합은 공집합을 원소로 하는 집합)

이번 편은 고유공간의 교집합에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 2.1편(스칼라가 같아지는 경우에 관한 정리)이번 편은 스칼라에 관하여 2편 내용을 기반으로 한 따름정리를 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.이에 대한 증명은 선형pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 그런데 맨처음라고 가정했었으므로 모순이다. 고로 귀류법에 의해

선형대수학 시리즈 2.1편(스칼라가 같아지는 경우에 관한 정리)

이번 편은 스칼라에 관하여 2편 내용을 기반으로 한 따름정리를 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 2편(항등원과 역원 정리)이번 편은 영벡터와 역벡터에 관한 기본 정리 3가지를 알아 볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자. 필요충분조건을 증명하는 것이므로pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 소거법칙은 선형대수학 시리즈 1편(소거법칙)이번 편은 벡터 합의 소거 법칙에 대해 알아볼 겁니다.  그럼 시작하겠습니다.  이번에 소개할 정리는 다음과 같다.    이제 증명해 보자.  벡터공간 V 은(는) 아벨군 이므로 벡터합에 대하pilgi..

이번 편은 벡터공간에 대한모든 고윳값들에 대응하는모든 고유공간들의 기저들을모두 합집합 한 것이 전체 벡터공간의 기저가 됨을 증명할 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.  이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 47편(대각화가 가능한 필요충분조건)이번 편은 대각화가 가능한 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   고윳값과 고유벡터의 정의는 다음과 같다.  '대각화가 가능하다' 라는 것에 대한 정의는 다음과pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요.  그러므로 자명하게이다.여기서이다.그리고 자명하게이다.여기서이므로이다.여기서이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 48편(고유공간 부분집합과 선형독립 관계)이번 편은 고유공간의..

이번 편은 선형대수학 시리즈에 있는 이번 편은 선형대수학 시리즈 56편의 정리를 증명하는 과정 속에서블록행렬의 행렬식에 대한 공식을 증명할 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 참고로 이제 증명해 보자. 우선이유는 다음과 같다.이 행렬식을 사루스 법칙으로 계산하였을 때,파란색 네모칸으로 표시한 부분의 연산을 제외하면나머지 대각선으로 계산한 항들은 0 와(과) 곱해지므로 파란색 네모칸 부분의 연산 결과만 남는다. 대표적인 예시를 하나 보자.을(를) 사루스 법칙으로 계산했을 때파란색 네모칸을 제외한 모든 빨간색 네모칸에는 항상 0 이(가) 포함되어 있다.그러므로이다.따라서이다. 이를 이용하여 다음과 같은 계산을 할 수 있다.

이번 편은 고유공간의 차원이 중복도 이하임을 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   중복도의 정의를 알아보자.그러면이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 55편(선형연산자의 고윳값이 될 조건과 행렬의 고윳값이 될 조건의 관계)이번 편은 선형연산자의 고윳값이 될 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 필요충분조건을 증명하는 것pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요.그리고 그러므로 여기서  참고로 '체'  F 위에서 완전히 인수분해 된다는 말의 정의는 다음과 같다.  대수적 중복도 라는 개념을 조금 더 쉽게 말하자면(단, T 은(는) 벡터공간 V 의 선형연산자이다.)  그리고 고유공간이라는 개념의 정의는 다음..

이번 편은 선형연산자의 고윳값이 될 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 필요충분조건을 증명하는 것이기 때문에 다음 두 명제를 증명하면 된다.  먼저 첫 번째 명제인 라는 명제 부터 증명해 보자.  라는 식의 양 변에 좌표벡터 표현을 취한 꼴인이(가) 항상 성립함을 알 수 있다.여기서이다. 좌표벡터와 선형변환 행렬표현의 관계식에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 37편(좌표벡터)이번 편은 좌표벡터에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 10편(선형독립의 성질 행렬 표현으로 해석)이번 편은 선형독립의 성질에 대해 알pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 고로 정..