선형대수학 시리즈 57편(대수적 중복도와 기하적 중복도의 부등식)

 

 

 

 

 

 

 

이번 편은 고유공간의 차원이 중복도 이하임을 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

중복도의 정의를 알아보자.

 

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 50편(특성다항식의 완전인수분해)

여기를 참고해 주세요.

 

 

그리고

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 56편(선형연산자의 고윳값이 될 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

 

 

그러므로

 

여기서

 

 

참고로 '체'  F 위에서 완전히 인수분해 된다는 말의 정의는 다음과 같다.

 

 

대수적 중복도 라는 개념을 조금 더 쉽게 말하자면

(단, T 은(는) 벡터공간 V 의 선형연산자이다.)

 

 

그리고 고유공간이라는 개념의 정의는 다음과 같다.

 

 

 

그리고 기하적 중복도에 대한 정의는 다음과 같다.

 

 

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

 

선형변환과 스칼라를 곱한 연산결과는 선형변환임에 대한 증명과

선형변환과 선형변환 끼리 서로 합한 결과또한 선형변환임에 대한 증명,

 그리고 선형변환의 합과 스칼라곱 연산의 정의는

선형대수학 시리즈 23편(선형변환의 합과 스칼라곱)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

그리고

 

이다.

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 49편(고유공간과 영공간)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

그리고

 

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 17편(영공간과 상공간은 부분공간)

여기를 참고해 주세요.

 

 

그리고

 

그러므로 대체정리에 의해 다음을 만족하는 어떤 임의의 집합 H 이(가) 존재한다.

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 12편(대체정리 두 번째 정리)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

여기서

 

 

 

그러면

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 12.1편(12편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.

 

 

그리고 집합 F 의 원소 이면서

을(를) 만족하게 하는 어떤 임의의 스칼라들

이(가) 존재한다.

 

 

이러한 스칼라들을 성분으로 하여

 

 

그리고

 

 

그러면

을(를) 블록행렬 형대로 나타내어

으로 나타낼 수 있다.

 

이러한 블록행렬에 대하여

 

 

여기서

이다.

 

그리고

임을 알 수 있다.

 

그리고

여기서

라는 공식을 사용하면

임을 알 수 있다.

블록행렬의 행렬식에 관한 공식 증명은

중복도 정리의 증명 과정속 특수한 블록행렬의 행렬식 공식 증명

여기를 참고해 주세요.

 

정리하여

 

그리고

그러므로

임을 알 수 있다.

그리고

고윳값 이라는 개념과 고유공간 이라는 개념의 정의에 의해서 자명하게

임을 알 수 있다.

고로

이다.