이번 편은 쌍대공간 행렬표현을 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.이제 증명해 보자. 쌍대공간의 정의는 선형대수학 시리즈 42편(쌍대공간의 차원)이번 편은 쌍대공간의 차원에 대해 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   선형범함수의 정의는 다음과 같다.이에 대한 증명은 대수구조 체 시리즈 4편(체로 만든 벡터공간)이번 편은pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 선형변환 행렬표현의 정의는 선형대수학 시리즈 25편(선형변환의 행렬표현 기호 정의)이번 편은 선형변환의 행렬표현에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   그러면 이를 행렬로 표현하여 다시 말하자면참고로 행렬의 오른쪽 위에 작게 쓴 T은(는) 전치행렬을 뜻한pilgigo.t..

이번 편은 어떤 선형변환이, 동형사상이 될 필요충분조건을 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.    이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.  필요충분조건을 증명하는 것이므로 다음 두 명제를 증명해야 한다.  첫 번째 명제부터 증명해 보자.  기저임을 증명하는 것이므로 선형독립임과 생성함을 증명하면 된다.그리고이다. (기저의 정의에 의해)고로 다음과 같이 계산할 수 있다. 따라서    이제 이 집합이 선형독립인가를 알아보자.  이다.여기서 그러므로 참고로이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)이번 편은 선형종속이 되는 필요충분조건에 관한 정리를 소개하겠습니다. 선형대수학 시리즈 6편은 https://pilgigo.tistory.com/entry/%E..

이번 편은 쌍대공간의 기저를 구해볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.  쌍대공간의 정의는 선형대수학 시리즈 41편(쌍대공간의 차원)이번 편은 쌍대공간의 차원에 대해 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   선형범함수의 정의는 다음과 같다.이에 대한 증명은 대수구조 체 시리즈 4편(체로 만든 벡터공간)이번 편은pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 쌍대기저의 정의는 다음과 같다. 좌표함수의 정의는 다음과 같다.    이번에 소개할 정리는 다음과 같다.   이제 증명해 보자.이다.이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 41편(쌍대공간의 차원)이번 편은 쌍대공간의 차원에 대해 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   선형범함수의 정의는 다음과 같다.이에 대한 증명은 대수구조 체 시리즈..

이번 편은 쌍대공간의 차원에 대해 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   선형범함수의 정의는 다음과 같다.이에 대한 증명은 대수구조 체 시리즈 4편(체로 만든 벡터공간)이번 편은 대수구조가 체 인 집합이 벡터공간 인가 와 벡터공간 이라면 차원도 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 첫 번째pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요.여기서 쌍대공간의 정의는 다음과 같다.이러한 선형변환들의 집합은 벡터공간이다.이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 24편(선형변환들의 집합 벡터공간)이번 편은 선형변환들의 집합으로 만들어진 벡터공간을 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.  이렇게 정의된 개념에 대한 정리를 알아보자.  이번에 ..

이번 편은 체로 만든 벡터공간 차원을 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.  체 집합으로 벡터공간을 정의할 수 있다.이에 대한 증명은 대수구조 체 시리즈 4편(체로 만든 벡터공간)이번 편은 대수구조가 체 인 집합이 벡터공간 인가 와 벡터공간 이라면 차원도 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 첫 번째pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요.  이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자.  선형독립의 성질에 의해 원소가 하나뿐인 집합은 반드시 선형독립이다.그러므로그리고이다.따라서

이번 편은 대수구조가 체 인 집합이 벡터공간 인가 와 벡터공간 이라면 차원도 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자. 첫 번째 명제부터 증명해 보자.  그러므로그러면 다시말해이다. 이제 두 번째 명제를 증명해 보자. 벡터공간임을 증명하게 위해서는 벡터합에 대하여 아벨군을 만족함을 증명하고스칼라곱에 대하여 항등원 존재와 결합법칙과 분배법칙을 증명하면 된다. 먼저 벡터합이 아벨군인가를 알아보자.  이제 스칼라곱이 항등원 존재와 결합법칙과 분배법칙을 만족하는지를 알아보자.    스칼라곱 항등원 존재를 설명하기 앞서 다음 사실을 살펴보자.    스칼라곱 항등원 존재는 다음과 같이 증명할 수 있다.  즉, 스칼라곱에는 항등원 1이(가) 존재한다.   그..