선형대수학 시리즈 31편(동형사상 필요충분조건)

 

 

 

이번 편은 어떤 선형변환이, 동형사상이 될 필요충분조건을 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

필요충분조건을 증명하는 것이므로 다음 두 명제를 증명해야 한다.

 

 

첫 번째 명제부터 증명해 보자.

 

 

기저임을 증명하는 것이므로 선형독립임과 생성함을 증명하면 된다.

그리고

이다. (기저의 정의에 의해)

고로 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

따라서

 

 

 

 

이제 이 집합이 선형독립인가를 알아보자.

 

 

이다.

여기서

 

그러므로

 

참고로

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

그래서

다시 본론으로 돌아와

 

이유를 알아보자.

그러므로

 

 

하지만

 

 

여기서

 

 

이를 다시말하자면

라는 말과 같다.

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

 

선형독립임과 동시에 W을(를) 생성하므로

첫 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

 

 

이제 두 번째 명제를 증명해 보자.

 

 

동형사상임을 증명하는 것 이므로 전사임과 단사임을 증명하면 된다.

 

 

먼저 전사임을 증명해 보자.

 

그리고

이다.

그러므로

이므로 T은(는) 전사이다.

 

 

이제 단사임을 증명해 보자.

증명해 보자.

(정확히 말하면 반드시 존재하면서 유일하다.)

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

여기를 참고해 주세요.

 

그러므로

그리고

 

이에 대한 증명 또한

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

여기를 참고해 주세요.

 

이다.

그러므로

여기서

 

그리하여 정리하면

 

따라서

 

T이(가) 전사임을 증명하였고 단사임을 증명하였으므로 전단사 함수이고 이는 동형사상이라 할 수 있다.

 

두 번째 명제의 증명이 끝났다.