선형대수학 시리즈 12편(대체정리 두 번째 정리)

 

 

 

이번 편은 대체정리 두 번째 정리를 증명해 보겠습니다.

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

대체정리는 다음과 같다.

 

첫 번째 명제의 증명은

선형대수학 시리즈 12편(대체정리 첫 번째 정리)

여기를 참고해 주세요.

 

 

두 번째를 증명해보자.

 

이 명제와 동치인 명제는 다음과 같다.

이 명제를 증명하면 된다.

 

그리고 증명에 필요한 두 보조정리를 알아보자.

소개할 보조정리는 다음과 같다.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 12.1편(12편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.

그리고

이에 대한 증명은 여러분들께 맡기겠습니다.^^

 

이 두 이론을 이용하여 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

 

그리고

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

dim(V) 개의 원소를 가진 선형독립집합은 V 의 기저이다.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 12.1편(12편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.

고로

여기서

 

따라서

이다.