선형대수학 시리즈 12편(대체정리 첫 번째 정리)

 

 

 

 

이번 편은 대체정리를 알아볼 겁니다.

대체정리에는 두 가지 정리가 있습니다.

이번 편은 첫 번째만 증명하고

나머지 두 번째는 다음 편에 증명하겠습니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

대체정리는 다음과 같다.

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

첫 번째 명제부터 증명해 보자.

이를 증명하기 위해

표의 빈칸에 들어갈 집합의 존재 여부를 하나씩 알아볼 것이다.

 

참고로

표에 있는 생성과 비생성 단어 뜻은 해당 집합이 벡터공간 V 을(를) 생성하느냐 안하느냐에 대한 뜻이다.

 

상식적으로

비생성하면서 선형종속인 집합은 dim(V) 을(를) 초과하든지 미만이든지 관계없이 존재가능하다.

(단, 점공간을 제외한다.)

 

그러므로

임을 알 수 있다.

 

그리고

 

차원의 개념을 정의해 보자.

기저의 원소 개수가 모두 같음에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 11편(기저의 원소의 개수 같음)

여기를 참고해 주세요.

그러므로

임을 알 수 있다.

그리고

이유는 다음과 같다.

그러므로

임을 알 수 있다.

 

그리고

 

이유는 다음과 같다.

 

그러므로

임을 알 수 있다.

 

그리고

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저존재)

여기를 참고해 주세요.

 

그러므로

임을 알 수 있다.

 

그리고 비생성 이면서 선형독립 이면서 dim(V) 을(를) 초과하는 원소 개수를 가진 집합의 존재 여부를 알기위해

다음과 같은 집합의 성질을 이용할 것이다.

증명은 여러분들게 맡기겠습니다.

 

그러므로

이 성질을 이용하여 다음과 같은 이야기를 할 수 있다.

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저존재)

여기를 참고해 주세요.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 7편(선형종속이 되기 위한 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

같은 논리로

 

이렇게 반복하여 논리를 펼치면 다음과 같은 결론에 다다른다.

 

결국 모순이란 결론만 나온다.

따라서

그러므로

임을 알 수 있다.