선형대수학 시리즈 12편(대체정리 첫 번째 정리)

 

 

 

 

이번 편은 대체정리를 알아볼 겁니다.

대체정리에는 두 가지 정리가 있습니다.

이번 편은 첫 번째만 증명하고

나머지 두 번째는 다음 편에 증명하겠습니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

대체정리는 다음과 같다.

 

 

 

이제 증명해 보자. 

 

 

1. 증명.

 

최대독립집합은 V을(를) 생성한다.

고로 최대독립집합은 V의 기저이다.

 

최소생성집합은 선형독립이다.

고로 최소생성집합은 V의 기저이다.

이에 대한 증명은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-%EC%B0%B8%EA%B3%A0%ED%8E%B8%EC%B5%9C%EC%86%8C%EC%83%9D%EC%84%B1%EC%A7%91%ED%95%A9%EA%B3%BC-%EC%B5%9C%EB%8C%80%EB%8F%85%EB%A6%BD%EC%A7%91%ED%95%A9%EC%9D%98-%EC%84%B1%EC%A7%88

선형대수학 시리즈 참고편(최소생성집합과 최대독립집합의 성질)

여기를 참고해 주세요.

 

V의 모든 기저는 원소의 개수가 같다.

이에 대한 증명은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-10%ED%8E%B8

선형대수학 시리즈 10편 (기저의 원소의 개수 같음)

여기를 참고해 주세요.

 

 

따라서 최소생성집합 원소의 개수와 최대독립집합 원소의 개수는 

이러한 식을 만족한다.

고로

이다.