선형대수학 시리즈 13편(선형독립인 극대 부분집합)

 

 

 

이번 편은 선형독립인 극대 부분집합에 대해 알아보겠습니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

선형독립인 극대 부분집합의 정의를 살펴보자.

 

이 개념으로부터 발생한 정리들이 있다.

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

 

 

 

이유는

선형대수학 시리즈 9편 (생성집합속 기저존재)

선형대수학 시리즈 9편의 첫 번째로 소개한 정리를 참고해 주세요.

 

그리고 만약

라고 가정한 경우에서 모순을 찾아 귀류법으로 증명해 보자.

그리고

이므로

이다.

선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저존재)에서 소개한 두 번째 정리에 의해

벡터공간 V을(를) 생성하지 않는 모든 집합은 V의 기저를 포함할 수 없다. 

그러므로 조금 전에 설명한 G에 대하여

이(가) 성립한다.

다시말해 G은(는) span(A)의 부분집합이 아니다.

 

그리고

G은(는) S의 부분집합 이므로 span(A) 이(가) G을(를) 포함할 수 없으면 S 또한 포함할 수 없다.

그러므로

이(가) 성립한다.

다시말해 S은(는) span(A)의 부분집합이 아니다.

 

 

그러므로

이유는

선형대수학 시리즈 7편 선형종속

여기를 참고해 주세요.

 

 

그래서 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

처음에 A은(는) S의 선형독립인 극대 부분집합이라 가정 했으므로 이는 모순이다.

따라서 귀류법에 의해 A은(는) V의 기저이다.

 

 

전체적인 내용을 정리하면 다음과 같다.