선형대수학 시리즈 2편(항등원과 역원 정리)

 

 

 

 

 

 

이번 편은 영벡터와 역벡터에 관한 기본 정리 2가지를 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

첫 번째로 이번에 소개할 영벡터에 관한 정리는 다음과 같다.

 

이제 증명해 보자.

 

필요충분조건을 증명하는 것이므로 다음 두 명제를 증명하면 된다.

 

 

먼저

 

라는 첫 번째 명제부터 증명해 보자.

 

 

이를 증명하기 위해 다음 세 명제를 증명하면 된다.

 

먼저 명제 (A) 부터 증명해 보자.

이다.

소거법칙은

선형대수학 시리즈 1편(소거법칙)

여기를 참고해 주세요.

 

명제 (A) 에 대한 증명이 끝났다.

 

 

 

이제 명제 (B) 에 대한 증명을 해보자.

이다.

명제 (B) 에 대한 증명이 끝났다.

 

명제 (C) 에 대한은 명제 (A) 와(과) 명제 (B) 로부터 자명한 결과임을 알 수 있으므로 생략한다. 

 

첫 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

 

 

 

 

이제

 

라는 두 번째 명제를 증명해 보자.

 

 

이를 증명하기 위해 다음 두 명제를 증명하면 된다.

 

먼저 명제 (가) 부터 명해 보자.

 

만약

라 하자.

그러면 ‘체’ 라는 대수구조의 공리에 의해

여기서

조금 전에 증명했던 명제 (B) 에 의해

임을 알 수 있고

또 ‘체’ 라는 대수구조에서 정의하는 ‘역원’ 이라는 개념의 정의에 의해

임을 알 수 있다.

그러므로

 

임을 알 수 있다.

이는 벡터공간 이라는 대수구조의 공리에 의해

이다.

따라서

임을 알 수 있다.

그런데 맨처음

라 가정했었으므로 모순임을 알 수 있다.

 

고로 귀류법에 의해

 

이는 다시말해

 

명제 (가) 에 대한 증명이 끝났다.

 

 

 

이제 명제 (나) 에 대한 증명을 해보자.

 

 

고로 귀류법에 의해

 

이는 다시말해

 

명제 (나) 에 대한 증명이 끝났다.

 

두 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

 

따라서

 

라는 명제와

 

라는 명제는 서로 동치임을 알 수 있다.

 

고로 필요충분조건이 될 수 있다.

 

 

두 번째로 소개할 역벡터에 관한 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

그리고

 

 

3편은

선형대수학 시리즈 3편 (부분공간)

여기를 참고해 주세요.