선형대수학 시리즈 3편 (부분공간)

 

 

 

 

 

이번 편은 부분공간에 대해 알아 보겠습니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

부분공간에 대한 정의는 다음과 같다.

 

 

 

벡터공간 V의 어떤 부분집합이, 부분공간임을 식별하는 방법이 있다.

벡터공간 공리들을 모두 만족하는지 하나하나 검증하면 된다.

 

 

 

너무 귀찮은 작업이다.

 

 

 

부분집합이 부분공간임을 식별하는 편리한 방법이 있다.

이 방법이 이번에 소개할 정리 이다.

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

위 정리에서 소개하는 3가지 조건만 만족하면, W 은(는) 벡터공간의 모든 공리를 만족한다.

이를 증명해보자.

 

 

W 은(는) V 의 부분집합 이면서 두 번째 조건을 만족하므로

덧셈의 교환법칙과 덧셈의 결합법칙을 만족하는 값이 W 의 원소로 존재한다.

그러므로 W 은(는) 덧셈의 교환법칙과 겹합법칙을 만족한다.

 

 

첫 번째 조건에 의해 

W 은(는) 덧셈의 항등원이 존재한다.

(참고로 덧셈의 항등원을 '영벡터' 라 정의 한다.)

(참고로 벡터공간V에 있는 영벡터는 유일하다.)

영벡터의 유일함에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 1.1편(영벡터 유일성)

여기를 참고해 주세요.

 

 

W이(가) 덧셈의 역원이 존재하는지 증명해보자.

 

세 번째 조건에 의해

 

 

그리고 선형대수학 시리즈 2편에서 소개한 두 번째 정리에 의해

선형대수학 시리즈 2편은

선형대수학 시리즈 2편

여기를 참고해 주세요.

 

고로

즉, 역원이 존재한다.

 

 

 

W은(는) V의 부분집합이므로 위 공리를 만족한다.

 

 

 

 

 

 

W가 스칼라 곱의 결합법칙을 만족하는지 증명해보자.

W은(는) V의 부분집합이므로 스칼라 곱 결합법칙도 성립한다.

 

 

 

W이(가) 모든 방식의 분배법칙을 만족하는지 증명해보자.

W은(는) V의 부분집합이므로 모든 방식의 분배법칙도 성립한다.

 

 

 

따라서 이번 편에 소개한 위 정리의 3가지 가정만 잘 확인하면, 부분집합 W가 벡터공간 8가지 공리들을 모두 만족하는지 하나하나 일일히 확인할 필요가 없다.

벡터공간 8가지 공리에 대해 모르시는 분들께서는

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-0%ED%8E%B8%EB%B2%A1%ED%84%B0%EA%B3%B5%EA%B0%84%EC%9D%B4%EB%9E%80-%EB%AC%B4%EC%97%87%EC%9D%B8%EA%B0%80

선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

 

선형대수학 시리즈 4편은

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-4%ED%8E%B8-%EB%B6%80%EB%B6%84%EA%B3%B5%EA%B0%84-%EA%B5%90%EC%A7%91%ED%95%A9-%EC%A0%95%EB%A6%AC

선형대수학 시리즈 4편 부분공간 교집합 정리

여기를 참고해 주세요.