선형대수학 시리즈 24편(선형변환들의 집합 벡터공간)

 

 

 

 

이번 편은 선형변환들의 집합으로 만들어진 벡터공간을 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

이렇게 정의된 개념에 대한 정리를 알아보자.

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

단, 함수의 합과 스칼라곱 정의는 선형대수학 시리즈 22편 내용을 따른다.

함수의 합과 스칼라곱 정의는

선형대수학 시리즈 22편(선형변환의 합과 스칼라곱)

여기를 참고해 주세요.

참고로 위 정리의 증명을 하기에 앞서

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

 

벡터공간임을 증명하기 이전에 대수구조가 될 수 있는지 알아보자.

 그리고 선형대수학 시리즈 22편에서 소개한 정리에 의해

고로

즉, 합에 대해 닫혀있음을 알 수 있다.

 

그리고

 

그러므로

 

그리고 선형대수학 시리즈 22편에서 소개한 정리에 의해

 고로

즉, 스칼라곱에 대해 닫혀있음을 알 수 있다.

 

 

집합에 부여간 연산들이 모두 닫혀있으므로 대수구조가 될 수 있다.

 

이제 이 대수구조가 벡터공간인지를 증명해 보자.

이다.

따라서 벡터 합에 대하여 교환법칙을 만족한다.

 

 

그리고

이다.

따라서 벡터 합에 대하여 결합법칙을 만족한다.

이러한 영사상은 항등원의 역할을 한다.

이다.

그리고

 

따라서 벡터 합에 대하여 항등원이 존재한다.

 

그리고

그러므로

고로

 

 

따라서 벡터 합에 대하여 역원이 존재한다.

 

 

선형변환들의 집합은 합에 대하여 교환법칙 결합법칙이 성립 하고 항등원과 역원이 존재하므로 아벨군이다.

 

 

따라서 '체'의 곱셈 항등원인 1을(를) 스칼라곱 하여도 값은 그대로다.

 

 

이다.

그러므로

이다.

따라서 스칼라곱에 대하여 겹합법칙을 만족한다.

이므로

이다.

그리고

이므로

이다.

 

따라서 분배법칙을 만족한다.

 

 

 

선형변환들의 합에 대하여 아벨군을 이루고

스칼라곱에 대하여 1을 곱하여도 값을 유지하며 결합법칙과 분배법칙을 만족하니 벡터공간임을 알 수 있다.