선형대수학 시리즈 21편(차원이 같은 경우 전사와 단사)

 

 

 

 

 

이번 편은 같은 차원인 두 유한차원 벡터공간의 선형변환이 단사임과 전사임이 동치관계 인가를 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 이제 증명해 보자.

 

우선 첫 번째 명제를 증명해 보자.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 19편(영공간과 단사함수 동치관계)

여기를 참고해 주세요.

 

그리고

 

이를 차원정리에 대입하여 계산하면 다음과 같다.

이다.

차원정리는

선형대수학 시리즈 18편(차원정리)

여기를 참고해 주세요.

그리고

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 17편(영공간과 상공간은 부분공간)

여기를 참고해 주세요.

이다.
이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 15편(부분공간과 차원)

여기를 참고해 주세요.

고로

첫 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

이제 두 번째 명제를 증명해 보자.

차원정리는

선형대수학 시리즈 19편(차원정리)

여기를 참고해 주세요.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 20편(영공간과 단사함수 동치관계)

여기를 참고해 주세요.

두 번째 명제의 증명이 끝났다.