기본행렬을 곱하는 함수는 동형사상

 

 

 

 

 

이번 편은 행렬에다 기본행렬을 곱하는 함수가 동형사상인가를 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

참고로

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 34편(행렬들의 집합은 벡터공간)

여기를 참고해 주세요.

 

이제 증명해 보자.

 

 

T 이(가) 동형사상임을 증명하기 전에 선형변환임을 먼저 증명해야 하고

T 이(가) 선형변환임을 증명하기 전에 잘 정의된 함수임을 먼저 증명해야 한다.

 

 

T 이(가) 잘 정의된 함수임을 증명해 보자.

 

그러므로 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 잘 대응됨을 알 수 있다.

 

그리고

 

자명하게 행렬 A 의 임의의 두 행을 교환한 행렬은 유일하다.

스칼라곱 연산은 유일한 연산 결과를 가지기로 정의 하였기에

행렬 A 의 임의의 행에 스칼라배한 결과의 행렬은 유일하다.

행렬 A 의 임의의 행에 스칼라배한 행은 유일하고 벡터합 연산은 유일한 연산 결과를 가지기로 정의 하였기에

행렬 A 의 임의의 행의 스칼라배를 다른 임의의 행에 더한 결과의 행렬은 유일하다.

 

그러므로

 

 

이제 T 이(가) 선형변환임을 증명해 보자.

그리고

 

 

이제 T 이(가) 동형사상임을 증명해 보자.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 31편(동형사상이 될 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

이를 증명하기 위해

 

 

이를 증명하기 위해 선형독립 개념의 정의에 따라

 

이를 증명해 보자.

 

으로 계산 가능하다.

 

여기서 기본행렬 E 은(는) 가역행렬이므로 행렬 E 의 역행렬이 존재한다.

그러므로

이다.

정리하여

 

그리고

 

따라서

 

이는 선형독립 정의에 의해

 

이는 대체정리의 따름정리에 의해

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 12.1편(12편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.

고로 기저의 정의에 의해

 

따라서 동형사상 필요충분조건에 의해 T 은(는) 동형사상이다.