삼각함수 합성공식과 페이저 2편(삼각함수 집합과 복소수 집합은 벡터공간)

 

 

 

 

 

삼각함수 합성공식과 페이저 1편에서 삼각함수 합성 공식을 증명 하였습니다.

삼각함수의 합 공식은

삼각함수 합성공식과 페이저 1편

여기를 참고해 주세요.

이번 편은 삼각함수들의 집합을 정의하여 벡터공간을 만들어 볼 겁니다.

그리고 복소수 집합도 벡터공간임을 증명할 겁니다.

이 둘을 알아보는 이유는 선형변환을 정의하여 동형사상임을 증명하기 위함 입니다.

고로 필수적으로 선형대수학 시리즈를 정주행 하셔야 내용을 이해할 수 있습니다.

벡터공간의 정의는

선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

다음과 같은 삼각함수들의 집합을 정의해 보자.

이 집합은 합에 대하여 닫혀 있음을 증명해 보자.

이렇게 계산되는 이유는 삼각함수 합성공식과 페이저 1편에서 증명한 공식에 의해 그렇다.

삼각함수 합성공식과 페이저 1편

삼각함수 합성공식과 페이저 1편은 여기를 참고해 주세요.

 

각 결과값에 대하여

 

그리고

 고로

즉, 삼각함수의 집합은 합에 대하여 닫혀있다.

합에 대하여 닫혀 있음에 대한 증명이 끝났다.

 

이제 스칼라곱을 정의하여 스칼라곱에 대하여 닫혀있음을 증명해 보자.

실수 집합에서 가져온 원소를 스칼라로 하여 우리가 일반적으로 알고있는 곱셈을 스칼라곱으로 정의해 보자.

즉, 삼각함수의 집합은 스칼라곱에 대하여 닫혀있다.

스칼라곱에 대하여 닫혀 있음에 대한 증명이 끝났다.

 

연산에 대하여 닫혀있음을 증명하였으므로 이는 대수구조가 될 수 있음을 알 수 있다.

이제 이 대수구조가 벡터공간 공리를 만족하는지 살펴보자.

따라서 V 은(는) 합에 대하여 아벨군을 이룬다.

 

 

 

스칼라 곱에 대한 성질도 알아보자.

그리고

이다.

고로 실수 집합을 스칼라로 정의한 집합 V은(는) 벡터공간이다.

 

 

이 벡터공간의 차원을 알아보자.

차원을 알기 위해 기저를 알아보자.

이 벡터공간의 기저는 다음과 같다.

이 집합이 기저임을 증명해 보자.

기저임을 증명하기 위해서는 생성함과 선형독립임을 증명해야 한다.

우선

이(가) 성립하는지 증명해 보자.

각 경우에 따라 계산한 결과는 다음과 같다.

 

여기서

 

이므로

 

이다.

여기서

이다.

그러므로

 

이다.

그러므로

이다.

이를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

이다.

여기서

이다.

그러므로

이다.

여기서

이다.

그러므로

 

여기서

이므로

이다.

 

다시말해

이다.

 

이 과정들을 한번에 표현하면 다음과 같다.

 

 

즉, V 을(를) 생성한다는 것이 증명되었다.

 

그리고

 

따라서

이다.

 

삼각함수는 2차원 벡터공간임을 증명하였다.

 

이제 복소수 집합에 대해 알아보자.

복소수 집합은 벡터공간이다.

그리고 2차원이다.

증명은 독자분들께 맡기겠습니다.^^

삼각함수 합성공식과 페이저 3편