선형대수학 시리즈 12편(대체정리 두 번째 정리)

 

 

 

이번 편은 대체정리 두 번째 정리를 증명해 보겠습니다.

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

대체정리는 다음과 같다.

첫 번째는 선형대수학 시리즈 11.1편(대체정리 첫 번째 정리) 에서 증명하였다.

11.1편은 

선형대수학 시리즈 11.1편(대체정리 첫 번째 정리)

여기를 참고해 주세요.

 

두 번째를 증명해보자.

 

선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저존재)에서 소개한 정리에 의해

선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저존재)은(는) 

선형대수학 시리즈 9편 (생성집합속 기저존재)

여기를 참고해 주세요.

이러한 조건에서 L이(가) V의 기저 인 이유는 

선형대수학 시리즈 11.11편(11.1편의 따름정리)

여기를 참고해 주세요. (첫 번째 정리를 참고하시면 됩니다.)

'?' 으로 표시한 것은, 아무 원소나 상관 없다는 뜻이다.

 

하지만

이유는 다음과 같다.

선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저 존재)의 두 번째 정리인

'V을(를) 생성하지 않는 집합은 기저를 포함할 수 없음'을 증명하였다.

(자세한 내용은 선형대수학 시리즈 9편(생성집합속 기저 존재)에서 두 번째 정리를 참고해 주세요.)

선형대수학 시리즈 9편의 두 번째 정리에 의해 다음과 같은 결론이 나온다.

이를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

이유는

선형대수학 시리즈 7편 선형종속

여기를 참고해 주세요.

이러한 상황에서

이유는 선형대수학 시리즈 11.11편을 참고해 주세요.

 

그러므로

하지만

선형독립이 되는 이유는 선형대수학 시리즈 7편을 참고해 주세요.

이러한 상황에서

이유는 선형대수학 시리즈 11.11편을 참고해 주세요.

(첫 번째 정리를 참고하시면 됩니다.)

 

하지만

이러한 상황에서

 

이러한 규칙으로 계속 해석하며 나아갈 수 있다.

그리고 마지막은 다음과 같다.

k의 구간은 

이므로

그러므로

따라서

고로 H은(는) 항상 존재한다

 

이번 편에서 다룬 정리로부터 파생된 따름정리는

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-1121%ED%8E%B8112%ED%8E%B8-%EB%94%B0%EB%A6%84%EC%A0%95%EB%A6%AC

선형대수학 시리즈 11.21편(11.2편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.