선형대수학 시리즈 15편(부분공간과 차원)

 

 

 

 

이번 편은 부분공간과 차원에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

 

 

W의 기저를 G 라 하자.

G의 원소의 갯수가 dim(V)개 이면 G은(는) V의 기저이다.

 

이유는 다음과 같다.

G은(는) W의 기저라 정의 했으므로 G은(는) 선형독립이다.

선형독립 집합의 원소 개수가 dim(V)개 이므로 집합V 안에서 최대독립집합이다.

V집합 안에서 최대독립지합은 반드시 V을(를) 생성하므로 G은(는) V을(를) 생성한다.

고로 G은(는) 선형독립임과 동시에 V을(를) 생성한다.

즉, G은(는) V의 기저이다.

 

그러므로 G은(는) W의 기저 이면서 V의 기저이다.

따라서 span(G)=W 이고 span(G)=V 이므로 W=V이다.

 

G을(를) W의 기저라고 정의 했으므로 G의 원소 개수는 dim(W)개 이다.

그러므로 dim(W)=dim(V) 이면 G의 원소의 갯수는 dim(V)개 이다.

 

따라서

이다.

 

 

그리고

인 경우 dim(V)와(과) dim(W)의 관계도 알아보자.

 

 

 

이를 알기 위해 첫 번째로 증명할 참인 명제는 다음과 같다. 

이유는 귀류법으로 증명 가능하다.

이 명제가 틀렸다고 가정하여

이라 하자.

그러면 위에서 증명한 정리에 의해

이다.

하지만

이라고 가정했으므로 이는 모순이다.

고로

 

 

두 번째로 증명할 참인 명제는 다음과 같다.

이유는 다음과 같다.

dim(V)은(는), V집합 원소들로만 만든 최대독립집합의 원소 개수이다.

즉, V집합의 원소들만을 구성하여 dim(V)개 보다 많은 원소를 갖는 선형독립 집합을 만들 수 없다.

W은(는) V의 진부분집합 이므로 W의 원소는 모두 V의 원소이다.

고로 W집합의 원소들만을 구성하여 dim(V)개 보다 많은 원소를 갖는 선형독립 집합을 만들 수 없다.

원소가 dim(V)개 보다 많은 집합은 반드시 선형종속이 되기 때문이다.

그러므로 W의 기저의 원소 개수는 dim(V)개를 넘지 못한다.

따라서

 

 

 

세 번째로 증명할 참인 명제는 다음과 같다.

 

모든 벡터공간은 기저가 존재한다.

이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 13편을 참고해 주세요.

https://pilgigo.tistory.com/entry/%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99-%EC%8B%9C%EB%A6%AC%EC%A6%88-13%ED%8E%B8%EB%AA%A8%EB%93%A0-%EB%B2%A1%ED%84%B0%EA%B3%B5%EA%B0%84%EC%97%90-%EA%B8%B0%EC%A0%80-%EC%A1%B4%EC%9E%AC

선형대수학 시리즈 13편(모든 벡터공간에 기저 존재)

 

 

최종적으로 정리하면

따라서