선형대수학 시리즈 46편(합성 선형변환의 영공간 차원정리)

 

 

 

 

 

이번 편은 합성 선형변환의 영공간 차원정리에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

(단, N(T) 와(과) N(U) 이(가) 유한차원 이라는 조건하에 성립한다.)

 

 

선형연산자에 대한 정의는, 정의역과 공역이 동일한 집합이라는 조건에서 정의된 선형변환을 일컷는 말 이다.

예를들어 V 의 선형연산자란, 정의역과 공역이 V 인 선형변환 이다.

 

두 선형변환의 합성함수가 선형변환임에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 27편(선형변환 합성)

여기를 참고해 주세요.

 

이번 정리는 V 이(가) 무한차원이든 유한차원이든 관계없이 항상 성립하는 정리이다.

 

고로 유한차원 벡터공간에서만 성립하는 차원정리를 사용하여 증명할 수 없다.

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

선형변환 U 은(는) 전사함수 이므로

 

여기서

 

그리고

 

고로

 

이제 이 집합이 N(TU) 의 기저임을 증명하면 증명이 끝난다.

 

 

이러한 성질을 만족하고

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

여기를 참고해 주세요.

 

 

다시말해

 

이는 N(U) 의 정의에 만족하므로

 

여기서

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

 여기를 참고해 주세요.

 

다시말해

이는 기저의 필요충분조건을 만족하므로

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 8편 (기저)

여기를 참고해 주세요.