동차선형미분방정식 시리즈 7편(해공간의 차원)

 

 

 

 

이번 편은 동차선형미분방정식 해공간의 차원을 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

 

지금까지 등장한 벡터공간, 선형변환, 영벡터 등등의 정의와

이러한 개념들이 등장하게 된 이유이자 배경에 대한 것은 모두

동차선형미분방정식 시리즈 1편(실변수 복소함수들의 집합은 복소 벡터공간)

 

동차선형미분방정식 시리즈 2편(무한히 미분가능한 실변수 복소함수는 부분공간)

 

동차선형미분방정식 시리즈 3편(동차선형미분방정식의 해는 무한히 미분가능)

 

동차선형미분방정식 시리즈 4편(함수를 도함수로 하는 함수는 선형변환)

 

동차선형미분방정식 시리즈 5편(해공간은 미분연산자의 영공간)

 

동차선형미분방정식 시리즈 6편(1계 동차선형미분방정식의 해공간과 기저)

여기를 참고해 주세요. 이번 편을 이해하기 위해서는 꼭 참고하셔야 합니다.

이번 편에 등장하는 모든 기호의 정의와 각 대상에 따른 모든 연산의 정의와 모든 개념의 정의는

동차선형미분방정식 시리즈 1,2,3,4,5,6편에서 정의한 것을 그대로 사용합니다.

이 내용들을 모두 알고 있다는 가정하에 이번 편이 진행되므로 배경지식 설명은 생략합니다.

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 5편

여기를 참고해 주세요.

벡터공간의 정의는

선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)

여기를 참고해 주세요.

모든 선형변환들의 집합 벡터공간에 대한 정의는

선형대수학 시리즈 24편(선형변환들의 집합 벡터공간)

여기를 참고해 주세요.

부분공간의 정의는

선형대수학 시리즈 3편 (부분공간)

여기를 참고해 주세요.

그리고

그리고

 

그리고

여기서

이므로

동형사상이 될 필요충분조건은

선형대수학 시리즈 31편(동형사상 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

 

 

T 이(가) 동형사상임을 증명한 이유 전단사 함수의 성질을 이용하기 위함이다.

(다음 나올 내용에 T 이(가) 전단사 임을 이용할 것입니다.)

 

 

 

다음과 같은 계산을 해보자.

 

으로 계산할 수 있으므로

이다.

그리고

 

으로 계산 할 수 있으므로

이다.

그러므로

이고

임을 알 수 있다.

정리하여

 

 

그리고 대수학의 기본정리에 의해

 

이 모든 내용들을 종합하여 다음을 알 수 있다.

 

정리하여

 

 

위 식이 성립할 수 있었던 이유는

이는 T 이(가) 전사함수 였기 때문에 가능하다.

만약 전사가 아니었다면 역함수 값이 존재하지 않을 가능성도 고려해야한다.

그리고 T 이(가) 단사가 아니었다면 역함수 자체가 존재하지 않았을 것이다.

이다.

 

여기서 우리가 사용할 정리는 다음과 같다.

 

이 정리에 나와 있는 공식을 사용하여

 

 

이제 전사임을 증명해 보자.

 

 

 

그리고 설명의 편의를 위해 다음과 같이 두 함수의 곱을 정의하자.

 

그리고 다음과 같이 두 함수를 정의하자.

 

그리고

 

그러므로

이다.

여기서

 

다시말해

 

고로

참고로

선형변환의 상공간이 해당 선형변환의 공역과 같으면 이 선형변환은 전사이다.

다시말해

전사임에 대한 증명이 끝났다.

 

따라서

 

정리하여

이다.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 46편(합성 선형변환의 영공간 차원정리)

여기를 참고해 주세요.

따라서 결론은 다음과 같다.

 

참고로