동차선형미분방정식 시리즈 5편(해공간은 미분연산자의 영공간)

 

 

 

 

 

 

이번 편은 동차선형미분방정식의 해공간에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

동차선형미분방정식 시리즈 1편(실변수 복소함수들의 집합은 복소 벡터공간)

와(과)

동차선형미분방정식 시리즈 2편(무한히 미분가능한 실변수 복소함수는 부분공간)

와(과)

동차선형미분방정식 시리즈 4편(함수를 도함수로 하는 함수는 선형변환)

을(를) 참고해 주세요.

 

벡터공간의 정의는

선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)

여기를 참고해 주세요.

 

부분공간의 정의는

선형대수학 시리즈 3편 (부분공간)

여기를 참고해 주세요.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 1.1편(영벡터 유일성)

여기를 참고해 주세요.

 

그리고 표현의 편이를 위해

 

두 선형변환의 합성함수가 선형변환임에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 27편(선형변환 합성)

여기를 참고해 주세요.

 

선형변환의 정의는

선형대수학 시리즈 16편(선형변환 정의)

여기를 참고해 주세요.

 

선형변환끼리 서로 더할 수 있고 스칼라에 대하여 스칼라곱을 할 수 있다.

두 선형변환을 서로 더한 함수는 선형변환이다.

선형변환에 스칼라곱을 한 함수도 선형변환이다.

그러므로

은(는) 선형변환이다.

 

이 함수가 선형변환임에 대한 증명과

선형변환의 합과 스칼라곱 연산에 대한 정의는

선형대수학 시리즈 23편(선형변환의 합과 스칼라곱)

여기를 참고해 주세요.

그리고

동차선형미분방정식의 정의는 다음과 같다.

을(를) 계수가 상수인 동차선형미분방정식이라 한다.

 

계수가 상수인 동차선형미분방정식의 해집합 정의는 다음과 같다.

 

위와 같이 정의한 계수가 상수인 동차선형미분방정식

을(를) 해당 미분방정식의 해집합이라 한다.

 

미분연산자에 대한 정의는 다음과 같다.

 

다시말해

 

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

영공간의 정의는

선형대수학 시리즈 17편(영공간과 상공간은 부분공간)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

동차선형미분방정식의 해는 무한히 미분가능하므로

이다.

이에 대한 증명은

동차선형미분방정식 시리즈 3편(동차선형미분방정식의 해는 무한히 미분가능)

여기를 참고해 주세요.

 

 

그리고 미분연산자 정의에 의해

 

이다.

그러므로

이다.

이는 선형변환 p(D) 의 영공간 정의와 완전히 동일하다.

 

고로

이다.

따라서 계수가 상수인 동차선형미분방정식의 해집합은

해당 미분방정식에 대한 미분연산자의 영공간과 같다.

 

그리고

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 17편(영공간과 상공간은 부분공간)

여기를 참고해 주세요.

그러므로 N(p(D)) 은(는) 벡터공간이다.

다시말해 해집합은 벡터공간이다.

그러므로 해집합을 해공간(solution space) 이라 부른다.