선형대수학 시리즈 52편(행렬의 특성다항식 차수)

 

 

 

 

이번 편은 행렬의 특성다항식 차수를 알아보고

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

먼저 행렬 A 의 특성다항식이 n 차 다항식 이라는 것부터 증명해 보자.

이를 증명하기 위해

수학적 귀납법으로 증명하기 위해

라는 사실을 증명하고

 

 

라는 사실을 증명하면 된다.

 

 

먼저

 

이 명제부터 증명해 보자.

그러면 특성다항식의 정의에 의해

이다.

그러므로

이다.

따라서

증명 끝.

 

이제

 

라는 사실을 증명해 보자.

 

그리고

 

그러면 특성다항식 이라는 개념의 정의에 의해

이다.

그리고

그러면

 

(참고로 이 계산은 여인수 전개한 꼴이다.)

 

여기서

이(가) 성립한다.

그러므로 특성다항식의 정의에 의해

 

그리고

라는 명제가 성립함을 가정하였으므로

 

정리하여

임을 알 수 있다.

여기서

 

보다시피 자명하게 독립변수 t 의 차수 값이 k-1 을(를) 초과 할 수 없는 꼴이다.

 

고로

임을 알 수 있다.

 

따라서

이로써 증명이 끝났다.

 

최종적으로 정리하여

 

라는 명제가 성립함을 증명하였고,

라는 명제가 참이면

 

라는 명제도 참임을 증명하였으므로

수학적 귀납법에 의해

행렬 A 의 특성다항식이 n 차 다항식임에 대한 증명이 끝났다.

 

 

 

이러한 사실을 이용하여 귀류법을 통해

 

라는 사실을 증명해 보자.

 

 

먼저 모든 임의의 자연수 n 에 대하여

 

그러면

 

따라서 귀류법에 의해

모든 임의의 자연수 n 에 대하여

 

이는 다시말해

행렬 A 에 대한 행과 열의 개수는 n 개 라는 증명이 끝났다.

 

 

 

 

 

 

 

이제 최고차항의 계수를 알아보자.

이는 연역적으로 증명해 보자.

 

그러면 이러한 특성다항식은 위에서 했던 방법대로 똑같이 계산하여

임을 알 수 있다.

여기서

 

이므로

이다.

여기서

이므로 다항식

이다.

그러므로 다항식

의 최고차항 계수는

이다. (단, 이 다항식의 독립변수는 t 이고 나머지 문자는 상수이다. 그리고 t 은(는) 체 F 의 원소이다.)

따라서