선형대수학 시리즈 60편(대각화 가능할 필요충분조건은 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같은것)

 

 

 

 

이번 편은 중복도 개념으로 해석한 대각과 가능할 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

이를 증명하기 위해 다음 두 명제를 증명하면 된다.

 

 

 

 

먼저

 

라는 첫 번째 명제부터 증명해 보자.

여기서

 

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 59편(고유공간의 교집합은 영벡터를 원소로 하는 집합)

여기를 참고해 주세요.

 

 

그러므로

 

그러면서

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 58편(고유공간들의 기저들 합집합은 전체 벡터공간의 기저)

여기를 참고해 주세요.

 

 

따라서

이다.

 

그리고

 

선형연산자의 특성다항식 정의는

선형대수학 시리즈 56편(선형연산자의 고윳값이 될 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

 

여기서

 

이에 대한 증명과 '체 F 에서 완전히 인수분해 된다.' 라는 것에 대한 정의는

선형대수학 시리즈 50편(특성다항식의 완전인수분해)

여기를 참고해 주세요.

 

그러면서

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 56편(선형연산자의 고윳값이 될 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

 

따라서

 

그러므로

 

여기서

라는 명제가 참임을 증명하기 위해

다음과 같은 그림을 통한 상황으로 비유하여 증명해 보자.

이러한 시험관들이 있다고 하자.

이러한 각각의 모든 시험관에 물을 체웠다고 하자.

그렇게 체워진 모든 시험관 속 물들의 총 부피가

라 하자.

그리고

라 하자.

 

어떤 임의의 한 시험관에서 해당 시험관의 부피보다 더 많은 부피의 물을 담을 수 없으므로

라는 식이 성립하기 위해서는 모든 각 시험관에 물을 가득 체워야 한다.

만약 한 시험관이라도 물을 가득 체우지 못하였다면

체우지 못한 해당 부피만큼 다른 시험관에 물을 더 부워야 하는데, 그러면 그 시험관의 물은 넘쳐 흘러버린다.

따라서

 

이는 다시말해

첫 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

 

 

 

이제 두 번째 명제인

 

라는 명제를 증명해 보자.

 

 

그리고

선형연산자 T 에 대한 어떤 임의의 특성다항식은 체 F 에서 완전히 인수분해 가능하므로

첫 번째 명제를 증명하는 과정에서 이야기했던 논리대로 똑같이 알아본다면

임을 알 수 있다.

따라서

그리고

 

여기서 첫 번째 명제를 증명하는 과정에서 이야기했던 논리대로 똑같이 알아본다면

 

임을 알 수 있다.

 

여기서

 

그리고

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 48편(고유공간 부분집합과 선형독립 관계)

여기를 참고해 주세요.

 

 

따라서

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 12.1편(12편 따름정리)

여기를 참고해 주세요.

 

이를 통해 선형연산자 T 의 고유벡터로 이루어졌으면서

벡터공간 V 의 기저인 집합이 존재함을 알 수 있다.

이는 대각화 가능할 필요충분조건을 만족하므로 선형연산자 T 은(는) 대각화 가능하다.

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 47편(대각화가 가능한 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

 

두 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

따라서

라는 명제는 서로 동치이다.

 

고로 필요충분조건이 될 수 있다.