선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)

 

 

 

이번 편은 벡터공간을 정의해 보겠습니다.

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 벡터공간은 합에 대하여 아벨군을 이루고 체 에서 원소를 가져와 스칼라 곱을 정의한 대수구조이다.

 

 

8가지 공리는 다음과 같다.

벡터공간은

'벡터공간'의 정의를 소개하면서 등장한 벡터 합과 스칼라 곱은,

우리가 일반적으로 알고 있던 덧셈과 곱셈이라는 보장이 없다.

벡터 합과 스칼라 곱을 마음대로 정의하여도, 위 공리만 잘 만족하면 '벡터공간'이다.

편의를 위해 벡터 합은 ' + '을(를) 사용하고, 스칼라 곱은 '기호생략' 방법 사용하여 표기하였을 뿐이다.

물론, 우리가 알고 있던 일반적인 합과 곱을 사용하여도 '벡터공간'이 될 수 있다.

(단, F와(과) V을(를) 실수집합이라 가정한다면.)

이는 '벡터공간'의 극히 일부이자 한 종류일 뿐이다.

어떤 집합이든 어떤 연산이든 아무렇게 사용하여도 위 공리만 만족하면 '벡터공간'이다.

그러므로 '벡터공간'은 무궁무진하게 만들 수 있다.

 

이제부터 선형대수학 시리즈에 나오는 모든 벡터의 역원과 연산기호들 그리고 스칼라 0와(과) 스칼라1 에 대한 표기들을 다음과 같이 취급하겠다.

벡터 합 표기(+)와 스칼라 곱(기호생략) 표기 또한, 우리가 알고 있던 일반적인 덧셈과 곱셈이라고 단정 짓지 않겠다.

벡터공간 V의 원소 x에 대하여

'-x'라고 표기하는 것 또한 x에 덧셈 역원' 일뿐, x에다  '-1'이라는 실수를 스칼라 곱 한 것이라고 단정 짓지 않겠다.

그리고 스칼라 0을(를) 실수 0 이라 단정 짓지 않겠다. (체 에서 정의한 덧셈의 항등원 이다.)

또 스칼라 1을(를) 실수 1 이라 단정 짓지 않겠다. (체 에서 정의한 곱셈의 항등원 이다.)

이러한 기호들은, 그저 표기할 때 편의를 위한 목적으로 사용할 뿐임을 명심하자.

'체'의 정의는

대수구조 체 시리즈 1편

여기를 참고해 주세요.

 

체의 기타 성질이나 기본적인 내용은

대수구조 체 시리즈 2편(소거법칙)

 

대수구조 체 시리즈 3편(항등원과 역원)

여기를 참고해 주세요.