선형대수학 시리즈 5편(span집합과 부분공간 관계)

 

 

 

이번 편은 생성공간에 대한 기본적인 정리를 알아보겠습니다.

 

선형대수학 시리즈 4편은

선형대수학 시리즈 4편 부분공간 교집합 정리

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

 

이번 편에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

 

 

이제 증명해 보자.

 

 

 

첫 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

이다.

그리고 span(S) 이(가) V 의 부분공간임을 증명해 보자.

 

그러므로

이다.

따라서 벡터합에 대하여 닫혀있다.

그리고

span 의 정의에 의해 스칼라곱에 대하여도 닫혀있고 영벡터 또한 표함한다.

고로 부분공간 필요충분조건에 의해 span(S) 은(는) V 의 부분공간이다.

 

부분공간 필요충분조건은

선형대수학 시리즈 3편 (부분공간)

여기를 참고해 주세요.

 

 

 

두 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

 

위에서 증명한 첫 번째 명제에 의해 span(S) 은(는) W 의 부분공간이다.

W 의 부분공간은 기본적으로 W 의 부분집합이므로 span(S) 은(는) W 의 부분집합이다.

다음 편은

선형대수학 시리즈 6편

여기를 참고해 주세요.