공리계와 여러 성질들 용어 정의(무모순성과 독립성)

 

 

 

 

 

이번 편은 공리계에 대한 여러 성질에 용어들을 알아볼 겁니다.

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

수학에서 명제란.

명제란, 참과 거짓을 명확히 나누어 논할 수 있는 문장이나 식을 뜻한다. 명제들은 공리가 되기도 하고 정리가 되기도 하며 거짓인 문장이 되기도 한다. 심지어 참임을 증명할 수 없으면서 거짓임을 증명할 수 없는 명제도 존재한다. 그러므로 명제라고 해서 ‘참’ 또는 ‘거짓’임을 반드시 알 수 있는 것은 아니다. 그래서 필자가 명제를 설명할 때 참과 거짓을 명확히 나누어 “논할 수 있다” 라고 표현한 것이다.

 

 

여러 가지 명제.

 

(해당 공리계에서)결정불가능한 명제

해당 공리계의 공리들로 참임을 증명할 수 없으면서 거짓임을 증명할 수 없는 명제를 뜻한다.

대표적인 예시로 연속체 가설이 있다.

 

공리

‘참’ 으로 약속한 명제이다.

 

정리

공리들로부터 유도되어 ‘참’임이 증명된 명제이다.

 

 

수학에서 공리계란.

수학은 공리계로부터 출발한다. 공리계로부터 여러 명제들이 유도되고 정리를 알아가고 증명하며 체계를 쌓아간다. 예시를 들자면 벡터공간을 만드는 8가지 공리계로부터 선형대수학이 만들어지고 ZFC공리계로부터 집합론이 만들어지며 페아노 공리계로부터 자연수를 다루는 이론이 만들어진다. 수학에서 공리계란 아주 중요한 것이다.

 

 

 

공리계와 관련된 여러 가지 용여.

이런식으로 모순이 있으면 무모순성이 아니다.

 

좀 더 쉽게 설명하면 다음과 같다.

 

완전성

어떤 공리계가 있다고 하자.

이 공리계의 공리들로부터 정의 가능한 대상이자 개념들이 있을 거다.

이러한 개념들을 논하는 명제들 중, 결정불가능한 명제가 없으면 해당 공리계는 완전성을 만족한다.