선형대수학 시리즈 30편(기저와 선형변환 관계 심화버전)

 

 

 

 

이번 편은 기저와 대응되는 모든 경우에서 선형변환 존재 가능성에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

정리를 소개하기 전 다음과 같은 두 표기 방법을 정의하자.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

 

 

참고로

그리고 

좌표벡터의 정의는

선형대수학 시리즈 36편(좌표벡터)

여기를 참고해 주세요.

 

증명을 하기에 앞서 몇가지 이해를 돕기 위한 내용들을 알아보자.

 

첫 번째 내용은 다음과 같다.

두 번째 내용은 다음과 같다.

 

세 번째 내용은 다음과 같다.

이므로

이다.

그러므로

 

 

이 내용들을 이용해서 이제 증명해 보자.

 

 

다음과 같은 계산을 할 수 있다.

그러므로

 

 

 

 

이제 U이(가) 선형임을 증명해 보자.

 

 

 

이므로 U은(는) 가산성을 만족한다.

행렬의 분배법칙은

행렬의 분배법칙

여기를 참고해 주세요.

이므로 U은(는) 동차성을 만족한다.

 

 

좌표벡터꼴 함수(표준표현)이(가) 가선성과 동차성을 만족하였기에 이러한 식 유도가 가능했습니다.

좌표벡터꼴 함수(표준표현)이(가) 가선성과 동차성을 만족한다는 것에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 37편(표준표현은 선형변환)

여기를 참고해 주세요.

 

고로 U은(는) 선형이다.

다시말해

이다.

 

그리고

이 집합의 원소가 여러개라고 가정한 다음 귀류법으로 증명하면 된다.

고로

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 22편(기저와 선형변환 관계)

여기를 참고해 주세요.

따라서

이다.