선형대수학 시리즈 30편(기저와 대응되는 모든 경우에서 선형변환 정의 가능성)

 

 

 

 

이번 편은 기저와 대응되는 모든 경우에서 선형변환 정의 가능성에 대해 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

정리를 소개하기 전 다음과 같은 기호를 정의하자.

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

 

이제 증명해 보자.

다시말해

 

첫 번째로

라는 조건을 만족하고

두 번째로

이다. 라는 조건을 만족하므로

 

 

 

 

이제 T이(가) 선형임을 증명해 보자.

 

 

 

우선

 

그러므로 다음과 같이 식을 유도할 수 있다.

 

여기서

임을 알 수 있다.

따라서 선형변환 두 번째 성질에 의해 T은(는) 선형이다.

선형변환 두 번째 성질은

선형대수학 시리즈 16.2편(선형변환 두 번째 성질)

여기를 참고해 주세요.

다시말해

이다.

최종적으로 결론을 종합하여 보면 다음과 같다.

즉, 두 집합에 공통된 원소 T이(가) 존재한다.

고로 두 집합의 교집합은 공집합이 아니다.