선형대수학 시리즈 32편(역사상과 역행렬)

 

 

 

 

이번 편은 선형변환이 가역이될 필요충분조건을 선형변환 행렬표현 식으로 알아볼 겁니다.

 

 

 

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

이번에 소개할 정리는 다음과 같다.

 

이제 증명해 보자.

 

 

필요충분조건을 증명하는 것이므로 다음 두 명제를 증명하면 된다.

 

첫 번째 명제의 증명은 다음과 같다.

이다.

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 31편(동형사상 필요충분조건)

여기를 참고해 주세요.

여기서

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 10편(선형독립의 성질 행렬 표현으로 해석)

여기를 참고해 주세요.

그러므로

이다.

그리고

 

여기서

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 10편(선형독립의 성질 행렬 표현으로 해석)

여기를 참고해 주세요.

그러므로

이다.

고로

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 29편(선형변환 합성 행렬표현)

여기를 참고해 주세요.

다시말해

 

따라서

이다.

이를 통해 다음과 같은 결론이 나온다.

 

T이(가) 선형이면 T의 역함수 또한 선형임에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 28편(역사상)

여기를 참고해 주세요.

 

첫 번째 명제의 증명이 끝났다.

 

두 번째 명제를 증명해 보자.

이에 대한 증명은

직사각형 행렬은 역행렬이 있는가?

여기를 참고해 주세요.

그러므로

이다.

 

 

 

다음 집합은 공집합이 아니다.

 

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 30편(기저와 대응되는 모든 경우에서 선형변환 정의 가능성)

여기를 참고해 주세요.

이를 간단히 표현하면

이다.

이다.

고로 선형변환 행렬표현 정의에 의해

이다.

다시말해

이에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 27편(선형변환 합성)

여기를 참고해 주세요.

그러므로

고로

두 선형변환이 같아지는 것에 대한 증명은

선형대수학 시리즈 22편(기저와 선형변환 관계)

여기를 참고해 주세요.

그리고

이것 역시 증명은

선형대수학 시리즈 22편(기저와 선형변환 관계)

여기를 참고해 주세요.

따라서

두 번째 명제의 증명도 끝났다.

 

첫 번째 명제도 참이고 두 번째 명제도 참 이므로

따라서 필요충분조건이 될 수 있다.