이번 편은 상공간과 기저의 관계인 정리를 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.  이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.  그러면 다음과 같은 계산을 할 수 있다.이므로이다.

이번 편은 벡터공간을 정의해 보겠습니다.  그럼 시작하겠습니다.   벡터공간은 합에 대하여 아벨군을 이루고 체 에서 원소를 가져와 스칼라 곱을 정의한 대수구조이다.  8가지 공리는 다음과 같다.벡터공간은'벡터공간'의 정의를 소개하면서 등장한 벡터 합과 스칼라 곱은,우리가 일반적으로 알고 있던 덧셈과 곱셈이라는 보장이 없다.벡터 합과 스칼라 곱을 마음대로 정의하여도, 위 공리만 잘 만족하면 '벡터공간'이다.편의를 위해 벡터 합은 ' + '을(를) 사용하고, 스칼라 곱은 '기호생략' 방법 사용하여 표기하였을 뿐이다.물론, 우리가 알고 있던 일반적인 합과 곱을 사용하여도 '벡터공간'이 될 수 있다.(단, F와(과) V을(를) 실수집합이라 가정한다면.)이는 '벡터공간'의 극히 일부이자 한 종류일 뿐이다.어떤 집..

이번 편은 영공간과 상공간이 부분공간인가에 대한 증명을 해볼 겁니다.  그럼 시작하겠습니다.  이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  우선 다음과 같이 몇 가지를 정의 하자. 이를 바탕으로 다음과 같이 영공간과 상공간을 정의 하자. 그리고 이러한 정의들을 바탕으로 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자. N(T)은(는) 벡터 합에 대해 닫혀있다.이에 대한 증명은 다음과 같다. N(T)은(는) 스칼라 곱에 대해 닫혀있다.이에 대한 증명은 다음과 같다. N(T)은(는) V의 영벡터를 포함한다.이에 대한 증명은 다음과 같다.N(T)은(는)벡터 합에 대해 닫혀있고스칼라 곱에 대해 닫혀있으며V의 영벡터를 포함하므로N(T)은(는) V의 부분공간이다.  R(T)은(는) 벡터 합에 대해 닫혀있다.이에 대한 증명은..

이번 편은 선형 변환에 관해 여러가지를 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.  선형변환 이라는 개념을 정의 가능한 조건은 다음과 같다. 선형변환의 정의는 다음과 같다.'T이(가) 선형변환 이다.' 라는 표현을 간단히 'T은(는) 선형(linear)이다.' 라고도 표현한다. 선형성이란, 가산성을 만족하면서 동차성을 만족하는 성질을 뜻한다.가산성과 동차성의 정의는 다음과 같다. 선형변환은 선형성을 가지는 함수이다.선형변환은 쉽게 말해 가산성과 동차성을 동시에 만족하는 함수로 볼 수 있다.  선형변환에는 4가지 기본 성질이 있다. 첫 번째 성질은 선형대수학 시리즈 15.1편(선형변환 첫 번째 성질)이번 편은 선형변환의 첫 번째 성질을 증명해 볼 겁니다.  그럼 시작하겠습니다.  선형변환의 첫 번째 성질은 ..

이번 편은 부분공간과 차원에 대해 알아볼 겁니다.   그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  이제 증명해 보자.    W의 기저를 G 라 하자.G의 원소의 갯수가 dim(V)개 이면 G은(는) V의 기저이다. 이유는 다음과 같다.G은(는) W의 기저라 정의 했으므로 G은(는) 선형독립이다.선형독립 집합의 원소 개수가 dim(V)개 이므로 집합V 안에서 최대독립집합이다.V집합 안에서 최대독립지합은 반드시 V을(를) 생성하므로 G은(는) V을(를) 생성한다.고로 G은(는) 선형독립임과 동시에 V을(를) 생성한다.즉, G은(는) V의 기저이다. 그러므로 G은(는) W의 기저 이면서 V의 기저이다.따라서 span(G)=W 이고 span(G)=V 이므로 W=V이다. G을(를) W의 기저라고..

이번 편은 모든 벡터공간에 기저가 존재함을 증명할 겁니다.  그럼 시작하겠습니다.  이번에 소개할 정리는 다음과 같다.'선형독립인 극대 부분집합'은 '기저'와 같은 말이다.그러므로 이 정리가 증명되면 모든 벡터공간에 기저가 존재함을 증명한 것과 같다.    이제 증명해 보자.  위 정리를 증명하기 위해 조른의 원리(조른의 보조정리 라고도 부른다.)를 사용할 거다.조른의 원리란 다음과 같다.이 정리는 선형대수학 내용이 아닌 집합론 내용입니다.집합론을 공부하지 않으신 분들께서는 용어가 생소하실 겁니다.'사슬'이 무엇인지 '위로 유계'가 무엇인지 '부분순서집합'이 무엇인지 '극대원소'가 무엇인지 에 대한 개념 소개는 조만간 업로드하겠습니다.그리고 조른의 원리 증명은 생략하겠습니다. (저도 어려워서 잘 모릅니다..