이번 편은 고유공간의 선형독립인 부분집합들을 합집합 한것이 선형독립인가를 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   고유공간의 정의는 다음과 같다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다.이제 증명해 보자. 수학적 귀납법으로 증명하기 위해라는 명제를 증명해 보자.우선그리고 자명하게 여기서 양변에 선형변환 T 을(를) 취하면 다음과 같이 계산할 수 있다.  그리고 여기서 이렇게 구한 식을 방금전 구한 (선형변환 T 을(를) 취해서 구했던) 식에서 빼면 다음과 같이 계산할 수 있다.이다.여기서이다.이에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 16.1편(선형변환 첫 번째 성질)이번 편은 선형변환의 첫 번째 성질을 증명해 볼 겁니다.  그럼 시작하겠습니다.  선형변환의 첫 번째 성질은 다음과 같다. 이제 증명해 보자.그리..

이번 편은 대각화가 가능한 필요충분조건에 대해 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 고윳값과 고유벡터의 정의는 다음과 같다. '대각화가 가능하다' 라는 것에 대한 정의는 다음과 같다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자. 첫 번째 명제는 나중에 증명하고 두 번째 명제부터 증명해 보자. 이를 행렬로 표현하면이다. 이는 선형변환 행렬표현 정의에 의해이다. 두 번째 명제의 증명이 끝났다. 이제 첫 번째 명제를 증명해 보자. 필요충분 조건을 증명하기 위해라는 명제와라는 명제를 증명해야 한다. 먼저라는 명제를 증명해 보자. 우리가 방금전 앞에서 증명한 두 번째 명제에 의해라는 사실을 알 수 있다.고로 '대각화 가능함'의 정의에 의해 이제 라는 명제를 증명해 보자.그러..

이번 편은 동차선형미분방정식의 미분연산자가 특수한 경우 해공간의 기저를 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 미분연산자의 정의는 다음과 같다. 그리고 이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 증명을 하기 앞서 가정에 모순이 없는지를 살펴보자.가장먼저 의심되는 것은하지만 우리는 n 계 동차선형미분방정식의 해공간 차원은 n 차원 임을 증명하였다.고로 모순이 되지 않음을 알 수 있다. 이에 대한 증명은 동차선형미분방정식 시리즈 7편(해공간의 차원)이번 편은 동차선형미분방정식 해공간의 차원을 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자. 지금까지 등장한 벡터공간, 선형변환pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 만약 가정..

이번 편은 동차선형미분방정식 해공간의 차원을 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자. 그리고 여기서 이러한 이에 대한 증명과 함수의 연산들(합과 스칼라곱) 에 대한 정의는 선형대수학 시리즈 23편(선형변환의 합과 스칼라곱)이번 편은 선형변환의 합과 스칼라곱을 정의하고선형변환끼리 합한 결과는 선형변환임을 증명하며선형변환과 스칼라를 곱한 결과 또한 선형변환인가를 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 그리고 7편에서 정의했던 그리고 7편에서 정의했던라는 이항연산을 기억해 보자. 이 연산의 정의를 설명하자면 이러한 연산에 대하여 다음과 같은 사실을 알 수 있다. 이에 대한 증..

이번 편은 합성 선형변환의 영공간 차원정리에 대해 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 선형연산자에 대한 정의는, 정의역과 공역이 동일한 집합이라는 조건에서 정의된 선형변환을 일컷는 말 이다.예를 들어 V 의 선형연산자란, 정의역과 공역이 V 인 선형변환 이다. 두 선형변환의 합성함수가 선형변환임에 대한 증명은 선형대수학 시리즈 27편(선형변환 합성)이번 편은 두 선형변환의 합성함수 또한 선형변환인가를 알아볼 겁니다. 그럼 시작하겠습니다. 이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 이제 증명해 보자.이다.가산성과 동차성을pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 이번 정리는 V 이(가) 무한차원이든 유한차원이든 관계없이 항상 성립..

이번 편은 1계 동차선형미분방정식의 해공간과 기저를 알아볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.   이번에 소개할 정리는 다음과 같다. 참고로C∞ 은(는) 벡터공간 F(R,C) 의 부분공간이다.벡터공간 F(R,C) 의 정의는 동차선형미분방정식 시리즈 1편(실변수 복소함수들의 집합은 복소 벡터공간)이번 편은 모든 실변수 복소함수들의 집합은 벡터공간임을 증명해 볼 겁니다.    그럼 시작하겠습니다.    이번에 소개할 정리는 다음과 같다.  벡터공간에 대한 정의는 선형대수학 시리pilgigo.tistory.com여기를 참고해 주세요. 벡터공간의 정의는 선형대수학 시리즈 0편(벡터공간이란 무엇인가?)이번 편은 벡터공간을 정의해 보겠습니다.  그럼 시작하겠습니다.   벡터공간은 합에 대하여 아벨군을 이루고 체 에..